Java 8 convertido Map <K, List <V >> para Map <V, List <K >>

Eu acho que você estava perto, você teria que flatMapessas entradas para um Streame recolher de lá. Eu usei o já presente SimpleEntry, mas você pode usar um Pairde algum tipo também.

initialMap.entrySet()
          .stream()
          .flatMap(entry -> entry.getValue().stream().map(v -> new SimpleEntry<>(entry.getKey(), v)))
          .collect(Collectors.groupingBy(
               Entry::getValue,
               Collectors.mapping(Entry::getKey, Collectors.toList())
         ));

Bem, se você não quiser criar a sobrecarga extra desses SimpleEntrycasos, você poderia fazê-lo um pouco diferente:

    Map<Integer, List<String>> result = new HashMap<>();

    initialMap.forEach((key, values) -> {
        values.forEach(value -> result.computeIfAbsent(value, x -> new ArrayList<>()).add(key));
    });