Atualizado - Mudando o estado de um componente filho funcional

Duas grandes opções a meu ver:

A primeira opção é alterar App.jsx para componente funcional e enviar a função para alterar o nome completo para User.jsx e o para Input.jsx como adereços, permitindo que o componente de entrada altere o valor por si mesmo

A segunda opção, que pode deixar seu componente App.jsx como está, mantê-lo mais seguro e permitir que o componente filho lide apenas com o que realmente precisa saber, é, da mesma forma, enviar uma função do componente App pai para que o componente Input possa acionar o envio o nome completo antigo e o novo nome completo e a função do componente pai cuidariam do resto do processo.

exemplo para função pai:

const updateFullname = (previousName, newName) => {
    // Get previous object data and location in array
    let originalUsersState = this.state.users;
    let originalUser = originalUsersState.filter(
        (user, index) => user.fullName === previousName
    )
    const originalUserIndex = originalUsersState.findIndex(
        (user, index) => user.fullName === previousName
    )
    
    // Create new updated object and insert it to updated object array
    let updatedUser = originalUser
    updatedUser.fullName = newName;
    let updatedUsersState = originalUsersState;
    updatedUsersState[originalUserIndex] = updatedUser;

    // Update the state with the new updated object array
    this.setState(
        {
            users: updatedUsersState
        }
    );
}

Abriviação de uma solução para o código da pergunta com a nova função e processo propostos:

// App.jsx
Imported User

state = {
    users : [
        {id: 1, fullName: 'Amirreza Amini'},
        {id: 2, fullName: 'John Smith'},
        ...
    ]
};

handleChangeName = name => {
    const editedUsers = [...this.state.users];
    const users = editedUsers.map(user => user.fullName = name);

    this.setState({ users });
};

const updateFullname = (previousName, newName) => {
    // Get previous object data and location in array
    let originalUsersState = this.state.users;
    let originalUser = originalUsersState.filter(
        (user, index) => user.fullName === previousName
    )
    const originalUserIndex = originalUsersState.findIndex(
        (user, index) => user.fullName === previousName
    )

    // Create new updated object and insert it to updated object array
    let updatedUser = originalUser
    updatedUser.fullName = newName;
    let updatedUsersState = originalUsersState;
    updatedUsersState[originalUserIndex] = updatedUser;

    // Update the state with the new updated object array
    this.setState(
        {
            users: updatedUsersState
        }
    );
}

render() {
    const { users } = this.state;

    const userComponent = users.map(user => (

        <User
            key={user.id}
            fullName={user.fullName}
            updateFullname={updateFullname} 
            edit={() => this.handleChangeName(user.fullName)}
        />

    ));

// User.jsx
Imported Input

const User = ({ fullName, updateFullname }) => {
    return (
        <section>
            <h1>{ fullName }</h1>

            <Input fullName={fullName} updateFullname={updateFullname} />
        </section>
    );
};

export default User;

// Input.jsx

const Input = ({ fullName }) => {
    const [inputValue, setInputValue] = useState(undefined);

    return (
        <section>
            <input className="user-edit-input" value={inputValue} onChange={event => setInputValue(event.target.value)} placeholder={fullName} />
            
            <button className="edit-button" onClick={(fullname, inputValue) => updateFullname}>Change</button>
        </section>
    );
};

export default Input;