Generieren einer Zufallsstichprobe aus einer Exponentialverteilung in Stata

Ich versuche, eine Simulation in Stata mit einer Zufallsstichprobe von 10000 für (i) die Variable X mit pdf durchzuführen f(x) = 2*x*exp(-x^2), X>0, und (ii) Y=X^2ich habe das cdf von F 1-exp(-x^2)so berechnet , dass es umgekehrt ist, also habe sqrt(-ln(1-u).ich den folgenden Code verwendet in Stata:

(1)  
 clear  
 set obs 10000  
 set seed 527665  
 gen u= runiform()  
 gen x= sqrt(-ln(1-u))  
 histogram x  
 summ x, detail  
(mean 0.88, sd 0.46)  
  

(2)  
clear  
set obs 10000  
set seed 527665  
gen u= runiform()  
gen x= (sqrt(-ln(1-u)))^2  
summ x, detail  
(mean 0.99, sd 0.99) 

(3)    
clear  
set obs 10000  
set seed 527665  
gen u= rexponential(1)  
gen x= 2*u*exp(-(u^2))  
summ x, detail  
(mean 0.49, sd 0.28)  

(4)
clear  
set obs 10000  
set seed 527665  
gen v= runiform()  
gen u=1/v  
gen x= 2*u*exp(-(u^2))  
histogram x  
summ x, detail  
(mean 0.22, sd 0.26)

Meine Fragen sind: (i) (1) und (2) basieren auf der Wahrscheinlichkeitsintegraltransformation, auf die ich gestoßen bin, die ich aber nicht verstehe. Wenn (1) und (2) gültige Ansätze sind, was ist die Intuition dahinter, (ii) die Ausgabe für (3) scheint nicht korrekt zu sein; Ich bin mir nicht sicher, ob ich die rexponentielle Funktion richtig anwende und was der Skalierungsparameter ist (es scheint keine Erklärung dafür in der Stata-Hilfe zu geben). (Iii) Die Ausgabe für (4) scheint ebenfalls nicht korrekt zu sein, und das war ich auch Ich frage mich, warum dieser Ansatz fehlerhaft ist.

Vielen Dank