我需要一个等式来沿着椭圆运动

如果你想要真实的东西

那么靠近主要焦点（恒星系统的质量中心...非常靠近恒星）的行星运动得更快，因此请在此处使用开普勒方程式：我的C ++实现。不要忘记查看该答案中的所有子链接，您可以在其中找到所需的一切。

如果要恒定速度

然后使用参数椭圆方程

x(a)=x0+rx*cos(a)
y(a)=y0+ry*sin(a)

其中aangle<0,2.0*PI> (x0,y0)是椭圆中心，(rx,ry)是椭圆半轴（半径）。

如果a以恒定速度增加，则面积增加是恒定的，因此a，平均圆角不是椭圆上的可见角！！！有关更多信息，请参见此处：

• 椭圆角计算和点计算的问题

[edit1]正如MartinR所指出的，速度不是恒定的

所以这是他的速度公式的近似值。椭圆是由x0,y0,rx,ry (rx>=ry)周边近似值定义的轴对齐方式l：

h=(rx-ry)/(rx+ry); h*=3.0*h; l=M_PI*(rx+ry)*(1.0+(h/(10.0+sqrt(4.0-h))));

如果您希望n沿周长有相等大小的台阶，那么

l/=n;

初始计算：

double x0,y0,rx,ry,n,l,h;
x0=Form1->ClientWidth>>1;  // center is centered on form
y0=Form1->ClientHeight>>1;
rx=200; // semiaxises rx>=ry !!!
ry=75;
n=40.0; // number of chunks per ellipse (1/speed)
//l=2.0*M_PI*sqrt(0.5*((rx*rx)+(ry*ry)));  // not accurate enough
h=(rx-ry)/(rx+ry); h*=3.0*h; l=M_PI*(rx+ry)*(1.0+(h/(10.0+sqrt(4.0-h)))); // this is more precise
l/=n; // single step size in units,pixels,or whatever

首先是缓慢的蛮力攻击（黑色）：

int i;
double a,da,x,y,xx,yy,ll;
a=0.0;
x=x0+rx*cos(a);
y=y0+ry*sin(a);
for (i=n;i>0;i--)
    {
    xx=x; yy=y;
    for (da=a;;)
        {
        a+=0.001;
        x=x0+rx*cos(a);
        y=y0+ry*sin(a);
        ll=sqrt(((xx-x)*(xx-x))+((yy-y)*(yy-y)));
        if (ll>=l) break;
        } da=a-da;
    scr->MoveTo(5.0+50.0*a,5.0);
    scr->LineTo(5.0+50.0*a,5.0+300.0*da);

    scr->MoveTo(x0,y0);
    scr->LineTo(xx,yy);
    scr->LineTo(x ,y );
    ll=sqrt(((xx-x)*(xx-x))+((yy-y)*(yy-y)));
    scr->TextOutA(0.5*(x+xx)+20.0*cos(a),0.5*(y+yy)+20.0*sin(a),floor(ll));
    }

现在近似值（蓝色）：

a=0.0; da=0;
x=x0+rx*cos(a);
y=y0+ry*sin(a);
for (i=n;i>0;i--)
    {
    scr->MoveTo(5.0+50.0*a,5.0+300.0*da);
    xx=rx*sin(a);
    yy=ry*cos(a);
    da=l/sqrt((xx*xx)+(yy*yy)); a+=da;
    scr->LineTo(5.0+50.0*a,5.0+300.0*da);

    xx=x; yy=y;
    x=x0+rx*cos(a);
    y=y0+ry*sin(a);

    scr->MoveTo(x0,y0);
    scr->LineTo(xx,yy);
    scr->LineTo(x ,y );
    ll=sqrt(((xx-x)*(xx-x))+((yy-y)*(yy-y)));
    scr->TextOutA(0.5*(x+xx)+40.0*cos(a),0.5*(y+yy)+40.0*sin(a),floor(ll));
    }

这是干净的椭圆形步骤（不进行调试绘制）

a=???; // some initial angle
// point on ellipse 
x=x0+rx*cos(a);
y=y0+ry*sin(a);
// next angle by almost constant speed
xx=rx*sin(a);
yy=ry*cos(a);
da=l/sqrt((xx*xx)+(yy*yy)); a+=da;
// next point on ellipse ...
x=x0+rx*cos(a);
y=y0+ry*sin(a);

这里是比较蛮力和逼近的输出：

[edit2]精度提升不大

 a,da=???; // some initial angle and step (last)
 x=x0+rx*cos(a);
 y=y0+ry*sin(a);
 // next angle by almost constant speed
 xx=rx*sin(a+0.5*da); // use half step angle for aproximation ....
 yy=ry*cos(a+0.5*da);
 da=l/sqrt((xx*xx)+(yy*yy)); a+=da;
 // next point on ellipse ...
 x=x0+rx*cos(a);
 y=y0+ry*sin(a);

近似半步角导致更接近蛮力攻击的结果