C ++：如何按数字顺序对数字字符串向量进行排序？

在我的程序中，我有一个通过用户输入填充的空字符串向量。该程序旨在从用户输入中获取数字，然后按从小到大的顺序对这些数字进行排序（数据类型是字符串，以便更容易检查不需要的输入，例如空格、字母、标点符号等）。实际上，程序根据起始数字而不是大小对数字进行排序。如何更改程序以按我想要的方式排序？

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <string>
#include <sstream>

using namespace std;

int main()
{
    vector<string> vect;
    string input;
    int intInput;
    int entries = 0;
    int i = 0;
    int x = 0;

    while (x < 1)
    {
        i++;
        cout << "Please input an integer. When finished providing numbers to organize, 
                         input any character that isn't an integer:\n";
        vect.resize(i+1);
        getline(cin, input);
        cout << endl;

        stringstream ss(input);
        if (ss >> intInput)
        {
            if (ss.eof())
            {
                vect.push_back(input); 
                entries++;
            }
            else
            {
                cout << "Error: Invalid input.\n\n";
            }
        }   
        else if (entries < 1)
        {
            cout << "Error: Invalid input.\n\n";
            i = -1;
            continue;
        }   
        else if (entries >= 1)
        {
            break;
        }       
    }
    
    cout << "All done? Organizing numbers!\n";
    
    sort(vect.begin(), vect.end());
    
    for (int j = 0; j < vect.size(); j++)
    {   
        cout << vect[j] << endl;
    }
    
    return 0;
}

我尝试了各种方法将字符串数据转换为int数据，比如lexical cast & stoi()，但是都没有成功，所以我想知道是否有另一种方法，比如在不改变数据的情况下对数据进行排序类型。