我应该在哪个项目中添加 .Net Core Identity（Web API 或在 Web Client 中）？

这个问题不完整（关于您将如何使用 API 的信息不足）。

大多数情况下，应该在 API 中使用.Net Core Identity 系统，因为 API 通常包含正在实现的应用程序的主要逻辑，而客户端只是交互接口（其中可以有多个，例如，一个移动应用程序和网络界面）。

您还提到您正在使用 VS Code 作为代码编辑器。它没有像 VS 那样的内置代码生成功能，但您仍然可以使用dotnet CLI代码生成器（例如ASP Identity scaffolding）。