在学习Fenwick树时，我发现了此实现：
资料来源：https : //algorithmist.com/wiki/Fenwick_tree
class Fenwick_Tree_Sum
{
vector<int> tree;
Fenwick_Tree_Sum(const vector<int>& Arg)//Arg is our array on which we are going to work
{
tree.resize(Arg.size());
for(int i = 0 ; i<tree.size(); i++)
increase(i, Arg[i]);
}
// Increases value of i-th element by ''delta''.
void increase(int i, int delta)
{
for (; i < (int)tree.size(); i |= i + 1)
tree[i] += delta;
}
// Returns sum of elements with indexes left..right, inclusive; (zero-based);
int getsum(int left, int right)
{
return sum(right) - sum(left-1); //when left equals 0 the function hopefully returns 0
}
int sum(int ind)
{
int sum = 0;
while (ind>=0)
{
sum += tree[ind];
ind &= ind + 1;
ind--;
}
return sum;
}
};
我可以在代码中看到i |= i + 1和ind &= ind + 1; ind--。
我知道i |= i + 1只是设置下一个未设置的位。
但是，(i & (i + 1)) - 1实际上是做什么的呢？
这里有些例子：
-------------------------------------
i | (i & (i + 1)) - 1
-------------------------------------
0 - 0000000000 | -1 - 1111111111
1 - 0000000001 | -1 - 1111111111
2 - 0000000010 | 1 - 0000000001
3 - 0000000011 | -1 - 1111111111
4 - 0000000100 | 3 - 0000000011
5 - 0000000101 | 3 - 0000000011
6 - 0000000110 | 5 - 0000000101
7 - 0000000111 | -1 - 1111111111
8 - 0000001000 | 7 - 0000000111
9 - 0000001001 | 7 - 0000000111
10 - 0000001010 | 9 - 0000001001
11 - 0000001011 | 7 - 0000000111
12 - 0000001100 | 11 - 0000001011
13 - 0000001101 | 11 - 0000001011
14 - 0000001110 | 13 - 0000001101
15 - 0000001111 | -1 - 1111111111
16 - 0000010000 | 15 - 0000001111
17 - 0000010001 | 15 - 0000001111
18 - 0000010010 | 17 - 0000010001
19 - 0000010011 | 15 - 0000001111
20 - 0000010100 | 19 - 0000010011
21 - 0000010101 | 19 - 0000010011
22 - 0000010110 | 21 - 0000010101
23 - 0000010111 | 15 - 0000001111
24 - 0000011000 | 23 - 0000010111
25 - 0000011001 | 23 - 0000010111
26 - 0000011010 | 25 - 0000011001
27 - 0000011011 | 23 - 0000010111
28 - 0000011100 | 27 - 0000011011
29 - 0000011101 | 27 - 0000011011
30 - 0000011110 | 29 - 0000011101
如果该位模式i就像是...0111，的位模式i+1会...1000。因此，i & (i+1)均值i - 2^{number of leading ones}并将所有前导1s转换为零。例如，如果i是，i & (i+1)则等于i。另一方面，-1意味着将所有前导零转换为1（包括上一步的所有前导零为零）并将连续1的零转换为零。
这样做的-1下一步，i & (i+1)将降低i由2^{leading 1's and zeros after 1's}的前值i。
是什么原因？它有助于表明找到累积总和的时间复杂性将O(log n)在最坏的情况下发生。
为了找到这个计算背后的原因，你需要关注每个节点上i会负责计算指数i来(i - (1 << r) + 1。并且“r表示索引中设置的最后1位i”。为了找到对应于指数总和i，我们需要从总结所有相关的值0来i。注意，由于指定的属性，我们不需要对所有索引求和。因此，我们需要总结指数i，i - (1 << r)......等等等等。
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